Doch, es geht, ist aber mit einiger Rechenarbeit verbunden. Ich habe nicht die Zeit, das jetzt vollständig auszuführen und die komplette Formel dazu herzuleiten, will aber wenigstens den Weg dazu skizzieren. Vorher einige Festlegungen: Wenn ich von Fernrohr spreche, gilt das auch für ein Spektiv oder ein Fernglas. F sei dessen Objektvbrennweite bei Einstellung auf unendlich (das muß so gesagt werden, weil Objektive mit Innenfokussierung eine je nach Entfernung veränderliche Brennweite haben), f sei die Okularbrennweite und n sei der Vergrößerungsfaktor. Es ist gilt dann auch F = n · f. Aber nun die Beschreibung des Rechenweges:
1. Wenn das Fernrohr auf unendlich fokussiert ist, liegt das reelle Zwischenbild unendlich ferner Gegenstandspunkte (z.B. von Sternen; auch der Mond ist weit genug weg, um als „unendlich” fern zu gelten) in der Feldblendenebene und wird vom Okular als virtuelles Bild nach -unendlich (= minus unendlich, d.h. nicht hinter, sondern vor dem Okular) abgebildet. Der Betrachter sieht es, korrekte oder durch Brille oder Kontaktlinsen korrigierte Sehschärfe vorausgesetzt, mit „entspanntem” (= nicht akkomodiertem) Auge scharf.
2. Näher gelegene Gegenstände im endlichen Abstand g (gemessen vom Objektiv aus) werden vom Objektiv mit einer Bildweite
b = F·g/(g - F) abgebildet (= Anwendung der bekannten Abbildungsgleichung). Wenn man F = n·f einsetzt, erhält man
b = n·f·g/(g - n·f). Das Bild des endlich entfernten Gegenstandes liegt also
b - F = n·f·g/(g - n·f) - F = n·f·g/(g - n·f) - n·f hinter der Feldblende.
3. Genau um diesen Betrag verkürzt sich der Abstand des reellen Bildes des endlich entfernten Gegenstandes vom Okular (genauer: von dessen vorderer Hauptebene). Für das Okular ist daher die „Gegenstandsweite” des reellen Zwischenbildes nicht mehr f, sondern f - (b - F). Da wäre jetzt der längere Ausdruck am Ende meines Absatzes 2 für (b - F) einzusetzen und eumzuformen (zu vereinfachen).
4. Daraus läßt sich die Lage des virtuellen Bildes, das der Betrachter beim Blick ins Okular sieht, nach der schon erwähnten Abbildungsgleichung errechnen. Nur ist hier als Gegenstandsweite der am Ende von Absatz 3 errechnete Ausdruck, als Brennweite f und als virtuelle Bildweite z.B. der Buchstabe c einzusetzen. Die Abbildungsgleichung nach der Bildweite aufgelöst lautet in der üblichen Schreibweise mit g = Gegenstandweite und b = Bildweite so:
b = f·g/(g - f)
Nun ist c anstelle von b einzusetzen und der umgeformte Ausdruck für f - (b - F) aus Absatz 4 anstelle von g. Damit ergibt sich eine recht lange Formel für c, nämlich, wenn ich mich nicht verhauen haben, wie folgt:
c = f [f - nfg/(g - nf) + nf ]/{[nfg/(g - nf) - nf ] - f }
5. Diese Formel muß man nach f auflösen, was nicht schwer ist, aber mehr Zeit erfordert, als ich dafür übrig habe. Am Ende erhält man f in Anhängigkeit von n (der bekannten Vergrößerung des Fernrohrs), von g (einer beliebig wählbaren endlichen Gegenstandsentfernung) und von c (der endlichen Entfernung, in welcher der Beobachter den Gegenstand mit der wahren Entfernung g in seinem Fernrohr sieht). Für relativ zur Brennweite F große Entfernungen ist c näherungsweise g/nˆ2, für kürzere Entfernungen wird diese Formel aber falsch, und aus dieser Abweichung gewinnt man letztlich die hier von uns gewünschte Information über die Okularbrennweite f aus der nach f aufgelösten obigen genauen Formel und dann durch Multiplikation mit n auch die Objektivbrennweite F. Um den Meßfehler gering zu halten, muß man also mit möglichst kurzer Gegenstandsentfernung arbeiten, da nur dann die Abweichung der genauen Formel von der Näherungsformel groß genug ist.
6. Wer sich die Mühe macht und das nach meiner Anleitung ausrechnet, kann nun folgendes tun, um die Objektivbrennweite eines konkreten Fernrohrs mit Hilfe der am Ende ermittelten Formel zu gewinnen: Man fokussiert das Fernrohr z.B. anhand eines Sterns auf unendlich und sichert die Fokussierung z.B. durch Klebeband, damit sie sich nicht beim weiteren Hantieren verstellen kann. Dann fokussiert man ein zweites, kleineres Fernrohr mit möglichst kurzer Einstellentfernung (also am besten ein naheinstellbares Monokular wie z.B. den Zeiss-„Booster” Classic Mono 3x12 B auf eine sehr kurze Entfernung in der Größenordnung von 0,2 m und mißt sie als Abstand vom Objektiv des Monokulars genau nach. Dann bringt man das Monokular ohne Änderung seiner Fokussierung (ebenfalls mit Klebeband sichern) so hinter dem Fernrohr an, daß das Monokularobjektiv am Ort der Fernrohr-Austrittspupille liegt und die Achsen von Fernrohr und Monokular fluchten, man also mit dem Monokular „durchs Fernrohr” schaut. Nun muß man nur noch einen Gegenstand suchen, der durch dieses Fernrohr-Tandem scharf abgebildet wird, und den Abstand dieses Gegenstandes messen. Diese Gegenstandsweite setzt man für g in der gemäß Absatz 5 ermittelten Formel ein. Ebenso setzt man die Fokussierentfernung des Monokulars (z.B. die oben erwähnten 0,2 m) für c in dieser Formel ein. Und dann muß man nur noch ausrechnen, wie groß f bzw. F = n·f ist. Fertig.
7. Ich bin gespannt, ob jemand der hier mitlesenden mathematisch Versierten sich die mir fehlende Zeit nimmt und die obigen Formen umformt und nach f bzw. F auflöst, um sie hier bekanntzugeben. Ich hatte mir dieser Arbeit schon mal ungefähr vor einem Jahr gemacht, aber leider die Berechnung und das Ergebnis nicht aufbewahrt, so daß ich jetzt alles nochmals machen müßte.
Als ein bemerkenswertes Ergebnis möchte ich aber noch festhalten, daß man nie vorschnell aufgeben sollte, wenn man eine Fragestellung auf den ersten Blick für unlösbar hält. Nicht immer, aber manchmal geht es dann doch, wenn man nur ein wenig hin und her überlegt, notfalls mit trickreichen Umwegen.
Walter E. Schön
