In meinem obigen Beitrag hatte ich eine Prozedur vorgeschlagen, mit der man das elastische Tuch inklusive Quadratmuster in der Hohlkugel aufspannen koennte. Jetzt kuemmern wir uns darum, wie genau unsere verzerrten Quadrate aussehen wuerden.
Die Diagonalen des Tuches reichen, wie vereinbart, genau an den Rand der Hohlkugel. Der halbe Umfang der Kugel entspricht also der Diagonalen des groesstmoeglichen Quadrates. Wie weit muessen wir also die Raender des Tuches auseinanderziehen? Ein gedachtes Kreuz, das unser Tuch in vier identische Quadranten unterteilt, haette eine Balkenlaenge, die identisch ist mit der Kantenlaenge des Tuches. Um diese Balken bis an den Rand der Hohlkugel zu ziehen, muessen wir sie um den Faktor sqrt(2) auseinanderziehen (Wurzel zwei = 1.414...). Entsprechend wuerden sich auch die "Baeuche" eines Quadrates verhalten, das genau um das Zentrum des Tuches plaziert ist (wir setzen voraus, dass das Tuch entlang der zentralen Balken gleichmaessig gedehnt wird). "Wurzel von 2" ist aber genau die Entfernung der Eckpunke unseres Quadrates! Wenn die "Baeuche" aber genauso weit herausragen wie die Ecken, dann haben wir gar kein Quadrat mehr, sondern einen Kreis!
Nachdem wir also schoen sorgfaeltig gezogen haben, bietet sich uns das folgende Bild: Wir nehmen mal an, in der Mitte des Tuches war urspruenglich kein Quadrat, sondern der Eckpunkt von vier Quadraten der Kantenlaenge d. Die urspruenglich quadratische Umrandung dieser Vierergruppe ist jetzt ein Kreis mit dem Radius d*sqrt(2) (dieser Radius ist natuerlich in Wirklichkeit eine Bogenlaenge, die man mit einem flexiblen Massband entlang der Kugelkruemmung bestimmen muss). Urspruenglich war diese zentrale Vierergruppe umgeben von 12 kleinen Quadraten, deren aeussere Begrenzungslinie eine Kantenlaenge von 4*d hatte. Nach dem Dehnen wird daraus ein Kreis mit Radius 2*d*sqrt(2).
Und so geht es weiter. Wir sehen jetzt also eine Reihe von konzentrischen Kreisen mit konstantem Abstand d*sqrt(2) (Bogenlaenge), in deren Zentren sich der Pol der Halbkugel befindet.
Gibt es so weit einen Konsens? Wir sehen gar keine verzerrten Quadrate mehr, sondern ein Muster konzentrischer Kreise mit dem Pol der Halbkugel im Zentrum?
Ich warte ab, ob es Einwaende gibt, danach setze ich die weiteren Berechnungen fort, denn langsam wird es interessant werden!
Viele Gruesse,
Holger Merlitz
